Найти частное решение, удовлетворяющее условию: xy'-3y=x^4e^x y(2)=4

Дано дифференциальное уравнение:

xy' - 3y = x^4 * e^x

С условием:

y(2) = 4

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения воспользуемся методом вариации постоянных:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

xy' - 3y = 0

Дифференциальное уравнение xy' - 3y = 0 - это линейное уравнение первого порядка, которое можно решить методом разделения переменных или методом интегрирующего множителя. В данном случае применим метод разделения переменных:

dy/y = 3dx/x

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

ln|y| = 3ln|x| + C1

где C1 - постоянная интегрирования. Применим свойство логарифма и перепишем выражение:

ln|y| = ln|x^3| + ln|C1|

ln|y| = ln|C1x^3|

Применим экспоненту k обоим частям:

|y| = C1e^(x^3)

Общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = ±C1e^(x^3)

Найдем частное решение неоднородного уравнения с помощью метода вариации постоянных. Предположим, что искомое частное решение имеет вид:

y_p(x) = u(x)e^(x^3)

где u(x) - неизвестная функция. Подставляем y_p(x) в неоднородное уравнение:

x(u'(x)e^(x^3) + 3x^2u(x)e^(x^3)) - 3u(x)e^(x^3) = x^4e^x

Для простоты обозначим e^(x^3) как A(x):

x(u'(x)A(x) + 3x^2u(x)A(x)) - 3u(x)A(x) = x^4e^x

x(u'(x)A(x)) = x^4e^x

u'(x)A(x) = x^3e^x

u'(x) = (x^3e^x) / A(x) = (x^3e^x) / e^(x^3) = x^3e^(x - x^3)

Интегрируем обе части уравнения:

∫u'(x)dx = ∫x^3e^(x - x^3)dx

u(x) = ∫x^3e^(x - x^3)dx

Вычислять этот интеграл аналитически сложно, поэтому воспользуемся численными методами. Подставим вместо u(x) функцию y_p(x):

y_p(x) = ∫x^3e^(x - x^3)dx * e^(x^3)

Теперь можем записать частное решение уравнения в общем виде:

y_p(x) = u(x)e^(x^3) = ∫x^3e^(x - x^3)dx * e^(x^3)

Найдем значение неизвестной константы C1, используя условие y(2) = 4. Подставляем x = 2 и y = 4 в выражение для частного решения:

4 = y_p(2) = ∫2^3e^(2 - 2^3)dx * e^(2^3)

4 = ∫8e^(-6)dx * e^8

4 = e^8 * ∫8e^(-6)dx

Вычислим значение интеграла и найдем C1:

4 = e^8 * (-8e^(-6) + C1)

C1 = (4 / e^8) + 8e^(-6)

Таким образом, найдено частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию y(2) = 4. Выражение для y(x) в общем виде:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = ±C1e^(x^3) + ∫x^3e^(x - x^3)dx * e^(x^3)

где C1 = (4 / e^8) + 8e^(-6).