Решение уравнения y'' + y = tg(x)
Данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Для его решения можно применить метод вариации постоянных.
Предположим, что решение уравнения можно записать в виде y = C1y1 + C2y2, где y1 и y2 - некоторые функции, а C1 и C2 - неизвестные постоянные.
Найдем общее решение исходного уравнения путем подстановки найденного предположения в уравнение:
y'' + y = tg(x)
Подставляем y = C1y1 + C2y2:
(C1y1 + C2y2)'' + (C1y1 + C2y2) = tg(x)
C1y1'' + C2y2'' + C1y1 + C2y2 = tg(x)
Дифференцируем функции y1 и y2 дважды, чтобы найти соответствующие производные:
y1'' + y1 = 0 y2'' + y2 = tg(x)
Получаем следующую систему уравнений:
С1y1'' + С2y2'' + C1y1 + C2y2 = tg(x) y1'' + y1 = 0 y2'' + y2 = tg(x)
Решим эти уравнения по отдельности:
- Уравнение y1'' + y1 = 0:
Ищем решение в виде y1 = e^(rx). Подставим полученное выражение в уравнение:
r^2 * e^(rx) + e^(rx) = 0
Выносим e^(rx) за скобку:
e^(rx) * (r^2 + 1) = 0
Поскольку e^(rx) не равно нулю, получаем квадратное уравнение:
r^2 + 1 = 0
Решаем его ищем корни:
r = ±i
Итак, общее решение уравнения y1'' + y1 = 0 записывается следующим образом:
y1 = C1cos(x) + C2sin(x)
- Уравнение y2'' + y2 = tg(x):
Так как правая часть уравнения содержит тригонометрическую функцию, ищем частное решение в виде y2 = A*tg(x) + B.
Подставим полученное выражение в уравнение:
(Atg(x) + B)'' + Atg(x) + B = tg(x)
Производные tg(x):
tg'(x) = 1 + tg^2(x)
tg''(x) = 2*tg(x)(1 + tg^2(x))
Подставляем в уравнение:
2Atg(x)(1 + tg^2(x)) + Atg(x) + B = tg(x)
Раскрываем скобки:
2Atg(x) + 2Atg^3(x) + A*tg(x) + B = tg(x)
Собираем все слагаемые вместе:
tg(x)(3A + 2Atg^2(x)) + Atg(x) + B = 0
Поскольку левая часть равна нулю, имеем систему уравнений:
3A + 2A*tg^2(x) = 0 A + B = 0
Решаем систему и находим значения A = 0 и B = 0.
Итак, общее решение уравнения y2'' + y2 = tg(x) записывается следующим образом:
y2 = A*tg(x) + B = 0
Собираем все полученные решения вместе:
y = C1y1 + C2y2 = C1cos(x) + C2sin(x)
Таким образом, решение уравнения y'' + y = tg(x) можно представить в виде y = C1cos(x) + C2sin(x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.
- Pehorka Ангорская теплая: комфорт и качество
- Luvr-shop.ru: Фабрика творчества и прекрасные подарки
- Luvr Shop - The Ultimate Destination for Romance and Intimacy
- А вы умеете радоваться "мелочам"?
- Почему в радиогарнитуре гарнитуре работает идеально, а в проигрывателе хрипит на Nokia 5230
- Помогите решить вопрос