магазин Лувр

Решение уравнения y'' + y = tg(x)

Данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Для его решения можно применить метод вариации постоянных.

Предположим, что решение уравнения можно записать в виде y = C1y1 + C2y2, где y1 и y2 - некоторые функции, а C1 и C2 - неизвестные постоянные.

Найдем общее решение исходного уравнения путем подстановки найденного предположения в уравнение:

y'' + y = tg(x)

Подставляем y = C1y1 + C2y2:

(C1y1 + C2y2)'' + (C1y1 + C2y2) = tg(x)

C1y1'' + C2y2'' + C1y1 + C2y2 = tg(x)

Дифференцируем функции y1 и y2 дважды, чтобы найти соответствующие производные:

y1'' + y1 = 0 y2'' + y2 = tg(x)

Получаем следующую систему уравнений:

С1y1'' + С2y2'' + C1y1 + C2y2 = tg(x) y1'' + y1 = 0 y2'' + y2 = tg(x)

Решим эти уравнения по отдельности:

  1. Уравнение y1'' + y1 = 0:

Ищем решение в виде y1 = e^(rx). Подставим полученное выражение в уравнение:

r^2 * e^(rx) + e^(rx) = 0

Выносим e^(rx) за скобку:

e^(rx) * (r^2 + 1) = 0

Поскольку e^(rx) не равно нулю, получаем квадратное уравнение:

r^2 + 1 = 0

Решаем его ищем корни:

r = ±i

Итак, общее решение уравнения y1'' + y1 = 0 записывается следующим образом:

y1 = C1cos(x) + C2sin(x)

  1. Уравнение y2'' + y2 = tg(x):

Так как правая часть уравнения содержит тригонометрическую функцию, ищем частное решение в виде y2 = A*tg(x) + B.

Подставим полученное выражение в уравнение:

(Atg(x) + B)'' + Atg(x) + B = tg(x)

Производные tg(x):

tg'(x) = 1 + tg^2(x)

tg''(x) = 2*tg(x)(1 + tg^2(x))

Подставляем в уравнение:

2Atg(x)(1 + tg^2(x)) + Atg(x) + B = tg(x)

Раскрываем скобки:

2Atg(x) + 2Atg^3(x) + A*tg(x) + B = tg(x)

Собираем все слагаемые вместе:

tg(x)(3A + 2Atg^2(x)) + Atg(x) + B = 0

Поскольку левая часть равна нулю, имеем систему уравнений:

3A + 2A*tg^2(x) = 0 A + B = 0

Решаем систему и находим значения A = 0 и B = 0.

Итак, общее решение уравнения y2'' + y2 = tg(x) записывается следующим образом:

y2 = A*tg(x) + B = 0

Собираем все полученные решения вместе:

y = C1y1 + C2y2 = C1cos(x) + C2sin(x)

Таким образом, решение уравнения y'' + y = tg(x) можно представить в виде y = C1cos(x) + C2sin(x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.