магазин Лувр

Выручите! Исследовать функцию двух переменных на экстремум: z=(x^2)+(y^2)

Введение

Исследование функций на экстремум является важной задачей в математике и науке. Одной из таких функций является функция двух переменных z=(x^2)+(y^2), где x и y - независимые переменные, а z - зависимая переменная. В данной статье мы рассмотрим методы исследования этой функции на экстремум.

Шаги исследования

1. Нахождение частных производных

На первом шаге необходимо найти частные производные функции z по переменным x и y. Для этого продифференцируем функцию z=(x^2)+(y^2) по каждой переменной по отдельности. Обозначим частные производные как z'x и z'y соответственно.

Частная производная по x: z'x = 2x Частная производная по y: z'y = 2y

2. Поиск точек, где частные производные равны нулю

Чтобы найти точки, в которых частные производные равны нулю, мы решим следующую систему уравнений: z'x = 0 z'y = 0

Из уравнения z'x = 2x получаем, что x = 0. Из уравнения z'y = 2y получаем, что y = 0.

Таким образом, мы нашли точку (0, 0), в которой обе частные производные равны нулю.

3. Проверка характера найденной точки

Для того чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, нам нужно проанализировать ее характер.

3.1. Вычисление вторых производных

Чтобы найти вторые производные функции z в точке (0, 0), продифференцируем частные производные z'x и z'y по переменным x и y соответственно.

Частная производная второго порядка по x: z''xx = 2 Частная производная второго порядка по y: z''yy = 2

3.2. Определение характера точки

В нашем случае знаки вторых производных одинаковы и положительны, поэтому точка (0, 0) является точкой минимума.

Заключение

Исследование функции z=(x^2)+(y^2) позволяет выяснить, что она имеет точку минимума в (0, 0). Таким образом, данная функция достигает своего минимального значения при значениях x=0 и y=0. Исследование экстремумов функций является важным инструментом в различных областях, таких как оптимизация, экономика и физика.