Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2+1, y=3, x=0

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми, мы должны найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для определения площади между ними. В данном случае, фигура ограничена линиями y=2x^2+1, y=3 и x=0.

Для начала, найдем точку пересечения между линией y=2x^2+1 и y=3. Записывая уравнения в виде y=3 и y=2x^2+1, мы можем прировнять их, чтобы найти значение x:

3 = 2x^2 + 1

Вычитая 1 из обеих сторон, получаем:

2 = 2x^2

Делим обе стороны на 2:

1 = x^2

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

x = ±1

То есть, линии пересекаются в точках (-1, 3) и (1, 3).

Теперь, мы можем использовать интеграл для расчета площади между линиями. Поскольку линия x=0 ограничивает фигуру слева, а линия y=2x^2+1 ограничивает ее сверху и снизу, мы будем интегрировать между этими пределами.

Площадь фигуры (S) вычисляется следующим образом:

S = ∫[a, b] [f(x) - g(x)] dx,

где a и b - координаты точек пересечения, f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

В нашем случае, верхняя функция f(x) = 3 и нижняя функция g(x) = 2x^2 + 1.

Используя указанные пределы и функции, находим:

S = ∫[-1, 1] [3 - (2x^2 + 1)] dx

S = ∫[-1, 1] [2 - 2x^2] dx

Вычисляем интеграл:

S = [2x - (2/3)x^3] |[-1, 1]

Подставляем пределы:

S = [(2 * 1 - (2/3) * 1^3) - (2 * -1 - (2/3) * (-1)^3)]

S = [2 - (2/3) - (-2 - (2/3))]

S = [2 - 2/3 + 2 + 2/3]

S = 4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2+1, y=3 и x=0, составляет 4 квадратных единицы.