Венгерский алгоритм

Венгерский алгоритм - это эффективный алгоритм решения проблемы о назначениях, которая заключается в назначении n задач работникам, таким образом, чтобы использовать его ресурсы максимально эффективно, при условии, что каждый работник может выполнить только одну задачу, а каждая задача может быть выполнена только одним работником.

Суть алгоритма заключается в нахождении оптимального решения, используя перебор всех возможных вариантов. Однако, в отличие от полного перебора, венгерский алгоритм работает быстрее за счет использования специальных оптимизаций.

Для реализации венгерского алгоритма на Паскале, необходимо выполнить следующие шаги:

Определить исходную матрицу A, где каждой задаче i будет соответствовать строка, а каждому работнику j - столбец, и каждому элементу a[i][j] будет соответствовать стоимость выполнения задачи i работником j.

Если некоторые задачи не могут быть выполнены определенными работниками (например, из-за различных требований), соответствующие элементы матрицы A могут быть установлены на бесконечность.

Найти минимальный элемент в каждой строке матрицы A и вычесть его из всех элементов строки, таким образом, чтобы каждая строка матрицы A содержала хотя бы один элемент, равный 0.
Найти минимальный элемент в каждом столбце матрицы A и вычесть его из всех элементов столбца, таким образом, чтобы каждый столбец матрицы A содержал по крайней мере один элемент, равный 0.
Найти оптимальное сочетание задач и работников путем нахождения максимального количества элементов, равных 0 в матрице A.
Если количество элементов, равных 0 в матрице A, меньше, чем n (число задач), вернуться к пункту 2.

Для реализации венгерского алгоритма на Паскале можно использовать следующий пример:

const n = 5; // число задач и работников

var A: array [1..n, 1..n] of integer; // матрица стоимостей

// функция нахождения минимального элемента в строке
function minInRow(i: integer): integer;
var
    minVal: integer;
    j: integer;
begin
    minVal := A[i][1];

    for j := 1 to n do 
        if (A[i][j] < minVal) then 
            minVal := A[i][j];

    minInRow := minVal;
end;

// функция нахождения минимального элемента в столбце
function minInCol(j: integer): integer;
var
    minVal: integer;
    i: integer;
begin
    minVal := A[1][j];

    for i := 1 to n do 
        if (A[i][j] < minVal) then 
            minVal := A[i][j];

    minInCol := minVal;
end;

// функция нахождения оптимального сочетания задач и работников
function findOptimalAssignment(): integer;
var
    i,j: integer;
    rowMin: array [1..n] of integer; // минимальные значения в строках
    colMin: array [1..n] of integer; // минимальные значения в столбцах
    rowCover: array [1..n] of boolean; // флаги покрытия строк
    colCover: array [1..n] of boolean; // флаги покрытия столбцов
    numCovered: integer; // число покрытых элементов
begin
    // шаг 1: настройка матрицы стоимостей
    for i := 1 to n do 
        for j := 1 to n do
            A[i][j] := random(10) + 1; // заполнение матрицы случайными значениями

    // шаги 2-3: вычитание минимальных значений в строках и столбцах
    for i := 1 to n do 
        begin
            rowMin[i] := minInRow(i);

            for j:=1 to n do 
                A[i][j] := A[i][j] - rowMin[i];
        end;

    for j := 1 to n do 
        begin
            colMin[j] := minInCol(j);

            for i:=1 to n do
                A[i][j] := A[i][j] - colMin[j];
        end;

    // шаг 4: поиск оптимального сочетания задач и работников
    for i := 1 to n do 
        rowCover[i] := False;
    for j := 1 to n do 
        colCover[j] := False;

    numCovered := 0;

    while (numCovered < n) do 
        begin
            // ищем первый непокрытый элемент
            i := 1;
            while (rowCover[i]) do
                Inc(i);
            j := 1;
            while (colCover[j]) do
                Inc(j);

            // находим первый столбец с нулем
            j0 := j;
            for j := j0 to n do
                if (A[i][j] = 0) and (not colCover[j]) then
                    j0 := j;

            if (A[i][j0] > 0) then
                begin
                    // если нет столбца с нулем, ищем столбец с наименьшим отклонением
                    j0 := j;
                    minDiff := maxint;
                    for j:=1 to n do
                        if (not colCover[j]) then
                        begin
                            diff := A[i][j] - rowMin[i] - colMin[j];
                            if (diff < minDiff) then
                            begin
                                j0 := j;
                                minDiff := diff;
                            end;
                        end;
                end;

            // добавляем покрытие
            rowCover[i] := true;
            colCover[j0] := true;
            numCovered := numCovered + 1;
            coveredPairs[i][j0] := true;

            // если количество покрытых элементов недостаточно, возвращаемся к шагам 2-3
            if (numCovered < n) then
                begin
                    goto step23;
                end;
        end;

    // шаг 5: находим максимальное количество нулей
    maxZeros := 0;
    for i := 1 to n do 
        for j := 1 to n do
            if (not coveredPairs[i][j]) and (A[i][j] = 0) then
            begin
                Inc(maxZeros);
            end;

    findOptimalAssignment := maxZeros;
end;

Таким образом, венгерский алгоритм позволяет эффективно решать проблему о назначениях, используя оптимизации и перебор всех возможных вариантов. Реализация алгоритма на Паскале может быть произведена путем выполнения необходимых шагов по нахождению минимальных значений и оптимального сочетания задач и работников.