Теорема о матрице обратной произведению двух невырожденных матриц
В линейной алгебре одной из самых важных теорем является теорема о матрице обратной произведению двух невырожденных матриц. Эта теорема гласит, что если две квадратные матрицы невырожденные, то обратная матрица произведения этих матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке.
Формулировка теоремы
Пусть $A$ и $B$ являются квадратными матрицами одинакового размера $n \times n$, и они обе невырожденные. Тогда матрица $C$, которая равна произведению матриц $A$ и $B$, также является невырожденной. Иными словами:
$$ \det(A) \neq 0, \space \det(B) \neq 0 \Rightarrow \det(C) = \det(AB) \neq 0 $$
Тогда обратная матрица $C^{-1}$ может быть найдена как
$$ C^{-1} = B^{-1}A^{-1} $$
Доказательство теоремы
Пусть $A$ и $B$ являются квадратными матрицами одинакового размера $n \times n$, и они обе невырожденные. Тогда мы можем записать следующие уравнения:
$$ ABX = Y \space \text{и} \space X = B^{-1}A^{-1}Y $$
где $X$ и $Y$ являются столбцами исходных матриц. Тогда мы можем написать следующее:
$$ A(BX) = Y \ B(B^{-1}A^{-1}Y) = Y $$
Таким образом, мы видим, что матрица $C$, которая равна произведению матриц $A$ и $B$, имеет обратную матрицу $C^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Это и доказывает нашу теорему.
Заключение
Теорема о матрице обратной произведению двух невырожденных матриц является ключевой в линейной алгебре и используется во многих математических и технических приложениях. Эта теорема позволяет нам эффективно находить обратные матрицы к произведениям матриц. Убедитесь, что вы хорошо понимаете эту теорему, чтобы легко решать задачи в линейной алгебре.
