Сколько треугольников?

Если задать этот вопрос математику, то он ответит: "Зависит от того, какие данные имеются".

Давайте посмотрим на три разные ситуации.

Первая ситуация.

На плоскости дано 6 точек, которые не лежат на одной прямой.

На первый взгляд кажется, что треугольников здесь всего 4. Но это не так. Найдем все возможные треугольники, которые можно образовать из данных точек.

Треугольник ABC.
Треугольник ABD.
Треугольник ABE.
Треугольник ACF.
Треугольник ACG.
Треугольник ADE.
Треугольник BDE.
Треугольник CEF.
Треугольник CFG.
Треугольник DEF.

Всего получается 10 треугольников.

Теперь рассмотрим второй вариант.

Вторая ситуация.

На плоскости дано 7 точек, которые не лежат на одной прямой.

На этот раз на первый взгляд кажется, что треугольников здесь 7, но это тоже не так. Найдем все возможные треугольники, которые можно образовать из данных точек.

Треугольник ABC.
Треугольник ABD.
Треугольник ABE.
Треугольник ACF.
Треугольник ACG.
Треугольник ADG.
Треугольник AEF.
Треугольник AFG.
Треугольник BCD.
Треугольник BEF.
Треугольник BFG.
Треугольник CEF.
Треугольник CFG.
Треугольник DEF.

Всего получается 14 треугольников.

Последняя ситуация - самая интересная.

Третья ситуация.

На плоскости дано 10 точек, которые не лежат на одной прямой.

Сколько же треугольников можно образовать из этих точек? Перебор всех вариантов займет слишком много времени. Но есть одна формула, которая поможет нам решить эту задачу.

Количество треугольников, которые можно образовать из n точек, равно:

C(n, 3) = n! / (3! * (n-3)!)

n! - символ, обозначающий факториал числа n (n! = 1 * 2 * 3 * ... * n)
3! = 1 * 2 * 3 = 6

Подставляем значение n = 10 и получаем:

C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = 120 / (6 * 5040) = 120 / 30240 = 0,00396

Значит, можно образовать всего 0,00396 * 100% = 0,396% всех возможных треугольников.

Заключение

В данной статье мы рассмотрели три различных ситуации и определили, сколько треугольников можно образовать из заданных точек. На практике эта задача может встретиться в различных областях, от игр до научных исследований. Знание формулы позволит быстро решить подобные задачи и не тратить время на перебор всех вариантов.