Решить уравнение
Дано уравнение: log3(3-x)+log3(4-x)=1+2log3 2.
Для начала, заметим, что оба логарифма имеют одинаковое основание, поэтому мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения выражения.
Используем свойство суммы логарифмов: log3(3-x) + log3(4-x) = log3((3-x)(4-x)).
Теперь уравнение примет вид: log3((3-x)(4-x)) = 1 + 2log3 2.
Разложим это уравнение по свойству логарифма произведения: log3(3-x) + log3(4-x) = log3((3-x)(4-x)).
Получим уравнение: log3((3-x)(4-x)) = log3 2^2.
Согласно свойству степени логарифма: loga b^c = c * loga b, уравнение примет вид: log3((3-x)(4-x)) = 2log3 2.
Применим свойство равенства логарифмов: (3-x)(4-x) = 2^2.
Раскроем скобки и упростим уравнение: 12 - 3x - 4x + x^2 = 4.
Приведем уравнение к квадратному виду и перенесем все в левую часть: x^2 - 7x + 8 = 0.
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -7, c = 8.
Вычислим дискриминант: D = (-7)^2 - 4 * 1 * 8 = 49 - 32 = 17.
Так как D > 0, это значит, что у уравнения существует два корня.
Применяем формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.
Подставляем значения: x = (-(-7) ± √17) / (2 * 1).
Выполняем вычисления: x = (7 ± √17) / 2.
Таким образом, уравнение log3(3-x) + log3(4-x) = 1 + 2log3 2 имеет два корня: x = (7 + √17) / 2 и x = (7 - √17) / 2.
Теперь остается только проверить эти значения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению.
Таким образом, решением данного уравнения являются два значения x = (7 + √17) / 2 и x = (7 - √17) / 2.