магазин Лувр

Решить систему уравнений

Иногда нам может понадобиться решить систему уравнений, состоящую из нескольких уравнений. Решение системы уравнений позволяет найти значения переменных, при которых все уравнения системы выполняются одновременно.

Существует несколько методов для решения систем уравнений, включая метод подстановки, метод сложения и вычитания, а также метод определителей. В данной статье рассмотрим метод сложения и вычитания.

Метод сложения и вычитания

Метод сложения и вычитания основан на принципе, что если два уравнения сложить или вычесть, то можно избавиться от одной из переменных и решить систему относительно другой переменной.

Предположим, у нас есть система уравнений:

уравнение 1: aх + by = c
уравнение 2: dx + ey = f

Чтобы решить эту систему, следует выполнить следующие шаги:

  1. Умножить уравнение 1 на e и уравнение 2 на b. Сначала умножаем:
е * уравнение 1: aeх + bey = ce
b * уравнение 2: dbх + bey = bf
  1. Вычесть уравнение (dbх + bey) из уравнения (aeх + bey):
(aeх + bey) - (dbх + bey) = ce - bf
  1. Упростить уравнение:
(a - d)х = (ce - bf)
  1. Решить уравнение относительно x:
х = (ce - bf) / (a - d)
  1. Подставить найденное значение x в одно из исходных уравнений и решить уравнение относительно y.

После нахождения значения y можно найти искомые переменные x и y.

Пример

Рассмотрим пример системы уравнений для наглядности:

уравнение 1: 2x + 3y = 8
уравнение 2: 4x - 2y = 10

Выполним шаги метода сложения и вычитания:

  1. Умножим уравнение 1 на 2 и уравнение 2 на 3:
2(2x + 3y) = 2 * 8
3(4x - 2y) = 3 * 10

Получим:

4x + 6y = 16
12x - 6y = 30
  1. Вычтем уравнение (4x + 6y) из уравнения (12x - 6y):
(12x - 6y) - (4x + 6y) = 30 - 16

Упростим:

8x - 12y = 14
  1. Решим уравнение относительно x:
8x = 14 + 12y
x = (14 + 12y) / 8
  1. Подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений:
2x + 3y = 8
2((14 + 12y) / 8) + 3y = 8

Упростим:

7y = 6
y = 6/7
  1. Подставим найденное значение y обратно в уравнение:
2x + 3(6/7) = 8
2x + 18/7 = 8

Упростим:

2x = 8 - 18/7

Получим значение x:

x = (8 - 18/7) / 2

Таким образом, решение данной системы уравнений будет равно x ≈ 0.857 и y ≈ 0.857.

Заключение

Метод сложения и вычитания является одним из методов решения систем уравнений. Он позволяет сократить количество переменных и решить систему относительно одной переменной. Подставляя найденные значения переменных обратно в уравнения, можно получить окончательное решение системы уравнений.