Разложение в степенной ряд функции y=3/(4-x)

Для разложения функции y=3/(4-x) в степенной ряд по степеням x, нужно воспользоваться методом дифференцирования исходной функции, а затем разложить полученное выражение в ряд Тейлора.

Дифференцирование функции

Сначала продифференцируем исходную функцию, чтобы найти все производные функции y по x:

y' = d/dx (3/(4-x))

Используем правило дифференцирования для частного функций:

y' = (0 - 3*(-1))/(4 - x)^2

y' = 3/(4 - x)^2

Разложение в ряд Тейлора

Теперь, зная производные функции y, мы можем разложить исходную функцию в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки a.

y(x) = y(a) + y'(a)(x - a) + y''(a)(x - a)^2/2! + …

Разложим функцию y(x) в окрестности точки a=0:

y(x) = y(0) + y'(0)*x + y''(0)*x^2/2! + …

Разложение до первого члена

Для первого члена разложения найдем значение функции и ее производной в точке a=0:

y(0) = 3/(4 - 0) = 3/4

y'(0) = 3/(4 - 0)^2 = 3/16

Таким образом, первый член разложения будет:

y(x) ≈ 3/4 + (3/16)*x + …

Разложение до второго члена

Для второго члена разложения найдем значение второй производной функции в точке a=0:

y''(0) = d^2/dx^2 (3/(4-x))^2 = 2*3/(4-0)^3 = 3/32

Теперь можем записать разложение до второго члена:

y(x) ≈ 3/4 + (3/16)*x + (3/32)*x^2/2! + …

Результат разложения

Таким образом, функцию y=3/(4-x) можно разложить в степенной ряд по степеням x следующим образом:

y(x) ≈ 3/4 + (3/16)*x + (3/32)*x^2/2! + …

Это разложение позволяет аппроксимировать функцию y в окрестности точки a=0 с заданной точностью, используя только первые несколько членов разложения.