Доказательство неравенства:

Дано: a, b > 0

Необходимо доказать: 36ab < (ab + 2a + 2b + 1)2

Решение:

Используем метод доказательства неравенств с помощью математических действий.

Рассмотрим правую часть неравенства:

(ab + 2a + 2b + 1)2 = (ab)2 + 2(ab)(2a+2b) + (2a+2b)2 + 1

= a2b2 + 4ab(a+b) + 4a2 + 8ab + 4b2 + 1

Получаем, что левая часть неравенства равна 36ab. Подставляем этот результат в правую часть неравенства:

36ab < a2b2 + 4ab(a+b) + 4a2 + 8ab + 4b2 + 1

Переносим все члены в левую часть:

0 < a2b2 - 32ab + 4a2 + 4b2 + 4ab + 1

Приводим подобные члены:

0 < (ab - 4a - 4b)2 + 1

Вычитаем из обеих частей неравенства единицу:

-1 < (ab - 4a - 4b)2

Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, неравенство выполняется для всех положительных значений a и b.

Таким образом, мы доказали неравенство 36ab < (ab + 2a + 2b + 1)2 при условии a, b > 0.