магазин Лувр

Приведение примеров использования обозначения предела, когда предел не существует.

Одной из основных концепций математического анализа является предел функции. Предел указывает, к чему стремится функция при приближении к определенной точке. Иногда, однако, функция может не иметь предела, то есть ее значение не сходится к какому-либо конкретному числу. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров использования обозначения предела, когда предел не существует.

Пример 1: Функция с разрывом в точке

Рассмотрим функцию f(x) = 1/x. Эта функция имеет разрыв в нуле, так как значение f(x) становится бесконечным, когда x стремится к нулю. Обозначение предела можно использовать для формальной записи этого разрыва. Можно записать предел функции f(x) при x, стремящемся к нулю, как:

lim (x->0) 1/x = ∞

Примечание: Здесь символ "lim" означает предел, стрелка "->" указывает на точку, к которой стремится переменная, а символ "∞" обозначает бесконечность. Здесь предел не существует, так как f(x) не сходится к конкретному числу при x, стремящемся к нулю.

Пример 2: Функция с осцилляцией

Рассмотрим функцию g(x) = sin(1/x). Эта функция осциллирует бесконечное число раз вокруг 0, когда x стремится к нулю. Функция не ограничена и не имеет сходящихся значений. Обозначение предела можно использовать для формализации этой осцилляции. Можно записать предел функции g(x) при x, стремящемся к нулю, как:

lim (x->0) sin(1/x) = DNE

Здесь "DNE" означает "does not exist" (не существует). Здесь предел не существует, так как функция g(x) не сходится к конкретному значению при x, стремящемся к нулю.

Пример 3: Функция с различными пределами справа и слева

Рассмотрим функцию h(x) = 1/x при x > 0 и h(x) = -1/x при x < 0. Эта функция имеет разные значения при x, стремящемся к нулю справа и слева. Пределы этой функции справа и слева не равны друг другу, поэтому предел не существует в нуле. Можно записать предел функции h(x) при x, стремящемся к нулю, как:

lim (x->0) h(x) = DNE

Здесь предел не существует, так как функция h(x) не имеет конкретного значения при x, стремящемся к нулю.

Таким образом, существуют различные примеры использования обозначения предела, когда предел функции не существует. Приведенные примеры демонстрируют случаи, когда функция имеет разрыв, осциллирует или имеет разные пределы слева и справа от определенной точки. Знание этих примеров позволяет лучше понять и изучить теорию пределов и их свойства.