При вынесении постоянной величины за знак математического ожидания эту величину...
Математическое ожидание является одной из основных характеристик случайной величины, которая позволяет оценить среднее значение этой величины. Однако, иногда возникает необходимость в выносе постоянной величины за знак математического ожидания.
Предположим, что у нас есть случайная величина X, а именно X = (X1, X2, ..., Xn), где Xi - случайные величины, принимающие значения X1, X2, ..., Xn с вероятностями P(X1), P(X2), ..., P(Xn) соответственно. Пусть a - постоянная величина, то есть a является числом.
Тогда, если мы вынесем постоянную величину за знак математического ожидания, мы получим следующее:
E(aX) = aE(X)
Это свойство математического ожидания называется линейностью. Оно гласит о том, что если мы умножим случайную величину на постоянное число, то математическое ожидание этой величины также будет умножено на это число.
Доказательство этого свойства достаточно простое. Рассмотрим
E(aX) = ∑(xi * P(X=x)) * a (по определению математического ожидания) = ∑(a * xi * P(X=x)) (ассоциативность умножения) = a * ∑(xi * P(X=x)) (перестановка множителей) = a * E(X) (по определению математического ожидания)
Таким образом, мы получаем, что математическое ожидание постоянной величины, вынесенной за знак математического ожидания, равно произведению этой постоянной величины на математическое ожидание исходной случайной величины.
Это свойство линейности может быть полезным при работе с математическим ожиданием, так как позволяет упрощать вычисления и анализировать связи между случайными величинами.
В заключение, вынося постоянную величину за знак математического ожидания, мы участвуем в формировании новой случайной величины, которая будет иметь ожидаемое значение, равное произведению постоянной величины на математическое ожидание исходной случайной величины. Это свойство линейности делает математическое ожидание еще более гибким инструментом для анализа случайных величин и их зависимостей.