магазин Лувр

Помогите решить задачу по геометрии, пожалуйста

Если вы оказались здесь, значит, вы нуждаетесь в помощи в решении задачи по геометрии. Не переживайте, мы поможем вам!

Задача

Дана треугольная призма, основание которой является равнобедренным прямоугольным треугольником. Средняя линия нижней грани равна 10 см, а угол между нижней гранью и рёбрами призмы равен 45 градусов. Найдите объём призмы.

Решение

  1. Обозначим основание призмы как треугольник ABC, где AB = AC и угол BAC равен 90 градусов. Также обозначим ВС = а.

  2. Найдём длину бокового ребра призмы. Поскольку BC – средняя линия треугольника ABC, то её длина равна половине длины основания BC, а это значит, что BC = 20 см. Также, поскольку угол между BC и боковым ребром равен 45 градусов, то мы можем использовать теорему синусов:

    $$ \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin \angle BAC} \Rightarrow a = AB \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin \angle BAC} $$

    Так как треугольник ABC равнобедренный, где AB = AC, то:

    $$ a = AB \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = AB $$

    Значит, длина бокового ребра призмы AB равна 10 см.

  3. Теперь можно найти высоту призмы. Обозначим её как h. По теореме Пифагора в треугольнике ABC:

    $$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $$

    Подставляя известные значения, получим:

    $$ 10^2 + 20^2 = AC^2 \Rightarrow AC = \sqrt{500} \approx 22.36 см $$

    Высота призмы h является высотой треугольника ABC, проходящей через его прямой угол. Можно использовать тригонометрические функции, чтобы найти высоту:

    $$ \sin \angle BAC = \frac{AB}{AC} \Rightarrow h = AB \cdot \cot \angle BAC = AB \cdot \tan 45^\circ = 10 \text{ см} $$

  4. Наконец, можем найти объём призмы. Он равен произведению площади основания на высоту призмы:

    $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{AB^2}{2} \cdot h = \frac{(10 \text{ см})^2}{2} \cdot 10 \text{ см} = 500 \text{ см}^3 $$

Ответ

Объём призмы равен 500 кубических сантиметров.