Помогите решить тригонометрическое уравнение!
Дано тригонометрическое уравнение:
√3sinx + cosx = 0
Наша задача решить уравнение и определить значения x, при которых оно выполняется.
Решение
Первым шагом нужно привести уравнение к виду, удобному для решения. Для этого воспользуемся формулой тангенса разности:
tg(x-a) = (tanx - tana)/(1 + tanx * tana)
где a - произвольное число.
Преобразуем исходное уравнение с целью выразить tg(x-a):
√3sinx + cosx = 0
cosx = -√3sinx
tgx = -√3
Теперь воспользуемся формулой тангенса разности и выберем произвольное число a, например, a = π/3:
tg(x-π/3) = (tgx - tga)/(1 + tgx * tga)
tg(x-π/3) = (-√3 - (-1/√3))/(1 - 1/3)
tg(x-π/3) = -2√3
Таким образом, получили уравнение:
tg(x-π/3) = -2√3
Чтобы найти решение этого уравнения, возьмем тангенс от обеих сторон:
x - π/3 = arctg(-2√3) + kπ
где k - любое целое число.
Теперь найдем все значения x:
x = arctg(-2√3) + kπ + π/3
x = π - arctg(2√3) + kπ + π/3
Ответ:
x = arctg(-2√3) + kπ + π/3 и x = π - arctg(2√3) + kπ + π/3
Заключение
Таким образом, мы решили тригонометрическое уравнение √3sinx + cosx = 0. Важно помнить, что при решении нужно обратить внимание на область определения тригонометрических функций и использовать соответствующие формулы преобразования.