магазин Лувр

Помогите решить пример. интеграл от 1/2 до 0 ((arctg*x) / x)*dx

Для решения данного интеграла мы можем использовать интегрирование по частям.

Интегрируя по частям, мы можем свести данный интеграл к интегралу от производной арктангенса.

Интегрирование по частям: $$\int\limits_{1/2}^{0}\frac{\arctan{x}}{x}dx = [\arctan{x} \cdot \ln{x}]{1/2}^{0} - \int\limits{1/2}^{0}\frac{\ln{x}}{1+x^2}dx$$

Правая часть этого выражения представляет из себя интеграл от дроби с знаменателем, содержащим квадратическое выражение. Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной.

Замена переменной: $$x = \frac{1}{t}, \quad dx = -\frac{1}{t^2}dt $$

Подставляя данную замену в наш интеграл, мы получаем:

$$-\int\limits_{2}^{\infty}\frac{\ln{\frac{1}{t}}}{1+\frac{1}{t^2}}\frac{1}{t^2}dt = -\int\limits_{2}^{\infty}\frac{\ln{t}}{1+t^2}dt$$

Для решения данного интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Интегрируем по частям, сделав следующую замену: $$u = \ln{t}, \quad dv = \frac{1}{1+t^2}dt $$ $$du = \frac{1}{t}dt, \quad v = \arctan{t} $$

Подставляем значения в формулу интегрирования по частям:

$$-[\ln{t} \cdot \arctan{t}]{2}^{\infty} + \int\limits{2}^{\infty}\frac{\arctan{t}}{t}dt $$

Первое слагаемое в данном выражении обращается в ноль при неограниченном $t$.

Таким образом, наш начальный интеграл может быть выражен следующим образом:

$$\int\limits_{1/2}^{0}\frac{\arctan{x}}{x}dx = -\int\limits_{2}^{\infty}\frac{\ln{t}}{1+t^2}dt + \int\limits_{2}^{\infty}\frac{\arctan{t}}{t}dt $$

С помощью компьютерных программ и таблиц интегралов, мы можем рассчитать значение обоих этих интегралов:

$$\int\limits_{2}^{\infty}\frac{\ln{t}}{1+t^2}dt = \frac{\pi \ln{2}}{4}$$

$$\int\limits_{2}^{\infty}\frac{\arctan{t}}{t}dt = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi \ln{2}}{4}$$

Таким образом, мы можем вычислить значение начального интеграла:

$$\int\limits_{1/2}^{0}\frac{\arctan{x}}{x}dx = -\frac{\pi \ln{2}}{4} + \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi \ln{2}}{4} = \frac{\pi^2 - 2\pi \ln{2}}{4} $$

Итак, мы рассмотрели метод решения данного интеграла - интегрирование по частям. Замена переменной и использование таблиц интегралов помогли нам найти точное значение интеграла.