магазин Лувр

Помогите решить каноническое уравнение второго порядка

Каноническое уравнение второго порядка - это уравнение квадратичной функции вида:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

где A, B, C, D, E и F - коэффициенты уравнения, причем A и C не равны нулю одновременно.

Каноническое уравнение второго порядка может иметь три типа: эллипс, гиперболу и параболу. Чтобы решить такое уравнение, мы должны привести его к одному из этих видов.

1. Решение канонического уравнения второго порядка

Шаг 1: Проверяем, относится ли уравнение к одному из типов - эллипс, гипербола или парабола. Для этого необходимо вычислить дискриминант D:

D = B^2 - 4AC

Если D > 0, уравнение имеет гиперболический тип. Если D = 0, уравнение имеет параболический тип. Если D < 0, уравнение имеет эллиптический тип.

Шаг 2: Приводим уравнение к каноническому виду в зависимости от его типа.

(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1

где (h, k) - координаты центра эллипса, a и b - полуоси эллипса.

(x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1

где (h, k) - координаты центра гиперболы, a и b - полуоси гиперболы.

4p(x - h) = (y - k)^2

где (h, k) - вершина параболы, p - фокусное расстояние.

2. Пример решения канонического уравнения второго порядка

Рассмотрим пример уравнения второго порядка:

3x^2 - 4xy + 2y^2 + 6x - 8y + 9 = 0

Шаг 1: Вычислим дискриминант D:

D = (-4)^2 - 4 * 3 * 2 = 16 - 24 = -8

Так как D < 0, уравнение имеет эллиптический тип.

Шаг 2: Приведем уравнение к каноническому виду эллипса:

3(x^2 - (4/3)x) + 2(y^2 - 4y) = -9

3(x^2 - (4/3)x + (2/9)^2) + 2(y^2 - 4y + 4^2/2^2) = -9 + 3*(2/9)^2 + 2*(4/2)^2

3(x - 2/3)^2 + 2(y - 2)^2 = -9 + 4/3 + 16

3(x - 2/3)^2 + 2(y - 2)^2 = 1/3

Таким образом, каноническое уравнение имеет вид:

(x - 2/3)^2/(1/3) + (y - 2)^2/(1/6) = 1

В данном случае, центр эллипса находится в точке (2/3, 2), полуоси по x и y равны sqrt(1/3) и sqrt(1/6) соответственно.

3. Заключение

Решение канонического уравнения второго порядка требует приведения уравнения к одному из типов: эллипс, гипербола или парабола. Путем анализа дискриминанта уравнения, мы можем определить его тип и привести его к каноническому виду. Это позволяет нам более детально изучить его свойства и характеристики и получить информацию о его графике.