магазин Лувр

Помогите, пожалуйста. Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенства.

Определение предела последовательности является одним из основных инструментов математического анализа. Представляет собой формальное определение того, что значит, что последовательность чисел стремится к определенному числу.

Пусть дана последовательность {an}, где каждый элемент обозначен как an. Выполнение равенства lim(n -> ∞) an = A, означает, что при достаточно больших значениях положительного целого числа n, элементы последовательности приближаются к числу A.

Для доказательства равенств, используется определение предела последовательности. Оно гласит, что последовательность {an} имеет предел A, если для любого положительного числа ε, найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |an - A| < ε.

Рассмотрим пример доказательства равенства с использованием определения предела последовательности:

Доказать равенство lim(n -> ∞) (2n + 1)/(3n - 2) = 2/3.

Согласно определению предела последовательности, для данного случая мы должны доказать, что для любого положительного числа ε, найдется натуральное число N, при котором для всех n > N выполнено неравенство |(2n + 1)/(3n - 2) - 2/3| < ε.

Разберем доказательство поэтапно:

  1. Для начала, возьмем произвольное положительное число ε.

  2. Найдем такое натуральное число N, что 3N - 2 > 2/3ε. Это можно сделать, немного преобразовав неравенство: N > (2/3ε + 2)/3. Здесь мы использовали факт, что для любого положительного числа a, существует натуральное число n, большее чем a.

  3. Пусть n > N. Тогда:

    |(2n + 1)/(3n - 2) - 2/3| = |(2n + 1)(3 - 3)/(3n - 2) - 2(3n - 2)/(3n - 2*3)|
    = |(3(2n + 1) - 2(3n - 2))/(3n - 2)|
    = |(6n + 3 - 6n + 4)/(3n - 2)|
    = |7/(3n - 2)|

  4. Так как n > N > (2/3ε + 2)/3, то 3n - 2 > 2/3ε. Из этого следует, что |7/(3n - 2)| < |7/(2/3ε)| = 21/ε.

Таким образом, мы показали, что для любого положительного числа ε, существует натуральное число N, при котором для всех n > N выполняется неравенство |(2n + 1)/(3n - 2) - 2/3| < ε. Это означает, что lim(n -> ∞) (2n + 1)/(3n - 2) = 2/3, и равенство доказано с использованием определения предела последовательности.