Помогите, пожалуйста. Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенства.
Определение предела последовательности является одним из основных инструментов математического анализа. Представляет собой формальное определение того, что значит, что последовательность чисел стремится к определенному числу.
Пусть дана последовательность {an}, где каждый элемент обозначен как an. Выполнение равенства lim(n -> ∞) an = A, означает, что при достаточно больших значениях положительного целого числа n, элементы последовательности приближаются к числу A.
Для доказательства равенств, используется определение предела последовательности. Оно гласит, что последовательность {an} имеет предел A, если для любого положительного числа ε, найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |an - A| < ε.
Рассмотрим пример доказательства равенства с использованием определения предела последовательности:
Доказать равенство lim(n -> ∞) (2n + 1)/(3n - 2) = 2/3.
Согласно определению предела последовательности, для данного случая мы должны доказать, что для любого положительного числа ε, найдется натуральное число N, при котором для всех n > N выполнено неравенство |(2n + 1)/(3n - 2) - 2/3| < ε.
Разберем доказательство поэтапно:
-
Для начала, возьмем произвольное положительное число ε.
-
Найдем такое натуральное число N, что 3N - 2 > 2/3ε. Это можно сделать, немного преобразовав неравенство: N > (2/3ε + 2)/3. Здесь мы использовали факт, что для любого положительного числа a, существует натуральное число n, большее чем a.
-
Пусть n > N. Тогда:
|(2n + 1)/(3n - 2) - 2/3| = |(2n + 1)(3 - 3)/(3n - 2) - 2(3n - 2)/(3n - 2*3)|
= |(3(2n + 1) - 2(3n - 2))/(3n - 2)|
= |(6n + 3 - 6n + 4)/(3n - 2)|
= |7/(3n - 2)| -
Так как n > N > (2/3ε + 2)/3, то 3n - 2 > 2/3ε. Из этого следует, что |7/(3n - 2)| < |7/(2/3ε)| = 21/ε.
Таким образом, мы показали, что для любого положительного числа ε, существует натуральное число N, при котором для всех n > N выполняется неравенство |(2n + 1)/(3n - 2) - 2/3| < ε. Это означает, что lim(n -> ∞) (2n + 1)/(3n - 2) = 2/3, и равенство доказано с использованием определения предела последовательности.
- Зимний венок - идеальное решение для создания уютного новогоднего настроения
- Китайский гладиолус SD6086: набор для вышивания от Luvr Shop
- Alize Natur Boucle: качественная пряжа для создания уникальных изделий
- Вечерний проспект BUTTERFLY 306: идеальный комплект для вышивания бабочек
- Ализе Декофур Травка Tcvet0541
- Nako Mohair Delicate: легкая и изысканная мохеровая пряжа