Поиск предела функции

В математике предел функции является важным понятием, определяющим поведение функции при стремлении аргумента к определенному значению. В данной статье мы рассмотрим два примера поиска предела функции.

Пример 1: x стремится к 0, sin(3x) * ctg(5x)

В данном примере нам необходимо найти предел функции при стремлении x к 0. Исходная функция представляет собой произведение двух функций - синуса и котангенса.

Используя известные пределы элементарных функций, мы можем привести данную функцию к виду, который удобен для вычисления предела.

ctg(x) = 1 / tan(x), следовательно, ctg(5x) = 1 / tan(5x)

Теперь мы можем записать исходную функцию в виде:

f(x) = sin(3x) * (1 / tan(5x))

Далее, мы можем заменить синус и котангенс через экспоненты функций тангенс и косинус:

f(x) = (e^(i3x) - e^(-i3x)) / (2i) * (1 / (e^(i5x) - e^(-i5x))) / (2i)

Упрощая данное выражение, получаем:

f(x) = (e^(i3x) - e^(-i3x)) / (e^(i5x) - e^(-i5x))

При стремлении x к 0, величины e^(ix) и e^(-ix) стремятся к 1.

Итак, мы получаем следующее выражение:

f(x) = (1 - 1) / (1 - 1) = 0 / 0

Выражение 0 / 0 является неопределенным, и для его решения необходимо использовать правила Лопиталя, исследовать функцию в окрестности точки х = 0 и выполнить дополнительные математические преобразования. Однако, в данной статье мы не будем рассматривать данное правило подробно.

Пример 2: x стремится к 0, (1 - 3x) / (1 - 2x)^(1/x)

Во втором примере нам необходимо найти предел функции при стремлении x к 0.

Мы можем обратить внимание на то, что в исходной функции присутствует степень, зависящая от x. Для вычисления данного предела, мы можем использовать замечательное предельное соотношение:

lim(x -> 0) (1 + a/x)^x = e^a, где a - произвольная константа

В данном случае, a = -2x, и мы получаем:

lim(x -> 0) (1 - 2x)^(1/x) = e^(-2)

Итак, предел данной функции при стремлении x к 0 равен e^(-2) или примерно 0.135.

Заключение

В данной статье мы рассмотрели два примера поиска предела функции. В первом примере мы увидели, что для решения неопределенного выражения требуется применение правил Лопиталя и дополнительных математических преобразований. Во втором примере мы использовали замечательное предельное соотношение для нахождения предела. Отметим, что для некоторых функций поиск предела может быть сложным и требует использования специальных математических техник.