Олимпиадная задача по математике 7 класс

Математические олимпиады – это соревнования, которые проводятся для того, чтобы проверить знания и навыки школьников в математике. Олимпиадные задачи отличаются сложностью и требуют глубокого понимания математических концепций.

Один из вариантов олимпиадных задач для учеников 7 класса может звучать следующим образом:

Задача:

Найдите все целочисленные значения $x$, при которых $\frac{x}{3} + \frac{9}{x} = 4$.

Решение:

Для начала, умножим обе части уравнения на $3x$, чтобы избавиться от знаменателей и привести все слагаемые к общему знаменателю:

$x \cdot x + 9 \cdot 3 = 4 \cdot 3x$

$x^2 + 27 = 12x$

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

$x^2 - 12x + 27 = 0$

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно воспользоваться формулой дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

$a = 1$, $b = -12$, $c = 27$

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27$

$D = 144 - 108$

$D = 36$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$, $x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

$x_1 = \frac{12 + 6}{2}$, $x_2 = \frac{12 - 6}{2}$

$x_1 = 9$, $x_2 = 3$

Итак, уравнение имеет два целочисленных корня – $x = 9$ и $x = 3$. Ответ: $x = 9, 3$.

Олимпиадные задачи по математике помогают школьникам развивать логическое мышление, находить нестандартные решения и использовать различные математические методы в решении задач. Участие в олимпиадах по математике может быть полезно для дальнейшего образования и развития школьников.