Найти уравнение плоскости проходящей через
Для того чтобы найти уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки в пространстве, необходимо выполнить следующие шаги:
- Определить векторы, образующие плоскость. Векторы, образующие плоскость, могут быть получены путем вычитания координат каждой точки из координат следующей за ней. Например, если имеются три точки A, B и C, то векторы AB и AC могут быть определены следующим образом:
AB = B - A = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
AC = C - A = (xC - xA, yC - yA, zC - zA)
- Найти векторное произведение этих векторов. Векторное произведение двух векторов определяется как новый вектор, перпендикулярный к плоскости, образованной исходными векторами. Векторное произведение может быть вычислено путем выполнения следующего выражения:
n = AB x AC = (yB - yA) * (zC - zA) - (zB - zA) * (yC - yA),
(zB - zA) * (xC - xA) - (xB - xA) * (zC - zA),
(xB - xA) * (yC - yA) - (yB - yA) * (xC - xA)
- Найти координаты нормального вектора. Нормальный вектор является единичным вектором, имеющим ту же направление, что и вектор, полученный в результате векторного произведения. Для того чтобы найти координаты нормального вектора, необходимо разделить вектор, полученный на предыдущем шаге, на его длину. Длина вектора может быть найдена по следующей формуле:
|n| = √(n1^2 + n2^2 + n3^2)
nx = n1 / |n|
ny = n2 / |n|
nz = n3 / |n|
- Найти свободный коэффициент. Свободный коэффициент плоскости определяется как значение, полученное путем подстановки координат одной из точек, через которые проходит плоскость, в уравнение плоскости. Например, если имеются три точки A, B и C, то свободный коэффициент можно определить путем выполнения следующей формулы:
d = -(nx * xA + ny * yA + nz * zA)
- Написать уравнение плоскости. Уравнение плоскости может быть получено путем подстановки координат нормального вектора и свободного коэффициента в следующее уравнение:
Ax + By + Cz + d = 0
где A, B и C - это координаты нормального вектора.
Например, уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 2, 3), (4, 5, 6) и (7, 8, 9), может быть найдено следующим образом:
-
AB = (3, 3, 3)
AC = (6, 6, 6)
-
n = AB x AC = (0, 0, 0)
-
|n| = 0
nx = 0 / 0 = NaN
ny = 0 / 0 = NaN
nz = 0 / 0 = NaN
-
d = -(NaN * 1 + NaN * 2 + NaN * 3) = NaN
-
Ax + By + Cz + d = 0
- неопределено.
Таким образом, уравнение плоскости для этого набора точек не может быть найдено, так как векторы AB и AC коллинеарны, и векторное произведение имеет нулевую длину.