магазин Лувр

Найти проекцию точки A=(-2,1,57) на плоскость -6х+3y-2z+1=0

Проекция точки на плоскость - это точка на плоскости, которая находится на минимальном расстоянии от исходной точки. Для нахождения проекции точки A=(-2,1,57) на плоскость -6х+3y-2z+1=0, мы можем использовать метод перпендикулярных векторов.

Метод перпендикулярных векторов

  1. Запишем уравнение плоскости -6х+3y-2z+1=0 в виде общего уравнения плоскости: ax + by + cz + d = 0. В нашем случае, a = -6, b = 3, c = -2 и d = 1.
  2. Найдем нормальный вектор плоскости. Нормальный вектор плоскости представляет собой коэффициенты перед x, y, и z в уравнении плоскости. В нашем случае нормальный вектор будет (a, b, c) = (-6, 3, -2).
  3. Найдем вектор, соединяющий исходную точку A с проекцией точки на плоскость. Это можно сделать, вычитая из точки A любую точку на плоскости. Возьмем точку (x, y, z) на плоскости и вычтем из A. Пусть вектор будет называться вектором B-A = (x+2, y-1, z-57).
  4. Так как вектор, параллельный плоскости, будет перпендикулярен нормальному вектору плоскости, мы можем использовать это свойство для нахождения проекции точки на плоскость.
  5. Запишем уравнение, используя векторы. Пусть вектор проекции будет a, и будет перпендикулярен нормальному вектору плоскости, и нормализуем его. Тогда a = N * (B - A) / ||N||^2, где N - нормальный вектор плоскости.
  6. Подставим значения в уравнение и решим его. В нашем случае, N = (-6, 3, -2) и B - A = (x+2, y-1, z-57).
  7. Найдем проекцию точки A на плоскость, подставив значения вектора проекции в уравнение плоскости. В нашем случае, уравнение плоскости -6х+3y-2z+1=0.

Решение

  1. Уравнение плоскости -6х+3y-2z+1=0 записано в виде общего уравнения плоскости: -6x + 3y - 2z + 1 = 0.
  2. Нормальный вектор плоскости N = (-6, 3, -2).
  3. Вектор, соединяющий точку A с проекцией точки на плоскость, равен вектору B - A = (x + 2, y - 1, z - 57).
  4. Подставим значения векторов в уравнение проекции a = (-6(x + 2) + 3(y - 1) - 2(z - 57))/49 = (348 - 6x + 3y - 2z) / 49.
  5. Найдем проекцию точки A на плоскость, подставив значение вектора проекции в уравнение плоскости: -6(-2) + 3(1) - 2(57) + 1 = 0.

Ответ

Проекция точки A=(-2,1,57) на плоскость -6х+3y-2z+1=0 равна точке P(130, -65, 16).