магазин Лувр

Как доказать, что поле F=yzi+xz^2j+x^2k соленоидальное?

Соленоидальность - одно из важных свойств векторных полей. Поле называется соленоидальным, если его ротор (или вихрь) равен нулю.

В данной статье мы рассмотрим, как доказать, что заданное поле F=yzi+xz^2j+x^2k является соленоидальным.

Шаг 1: Вычисление ротора

Первый шаг в доказательстве соленоидальности поля - это вычисление его ротора. Ротор векторного поля F(x,y,z) выражается формулой:

rot(F) = (dFz/dy - dFy/dz)i + (dFx/dz - dFz/dx)j + (dFy/dx - dFx/dy)k

Шаг 2: Вычисление производных

Для нашего поля F=yzi+xz^2j+x^2k вычислим необходимые производные. Для удобства, разделим вычисление на три части, соответствующие каждой координате:

  1. Производная по x:

    • dFy/dx = 0
    • dFz/dx = 0

  2. Производная по y:

    • dFx/dy = 0
    • dFz/dy = z

  3. Производная по z:

    • dFx/dz = x^2
    • dFy/dz = 0

Шаг 3: Вычисление ротора

Теперь, когда мы вычислили необходимые производные, подставим их в формулу ротора и упростим:

rot(F) = (0 - 0)i + (x^2 - 0)j + (z - 0)k = x^2j + zk

Шаг 4: Проверка результата

Осталось проверить полученное выражение для ротора. Для этого сравним его с нулевым вектором.

Если rot(F) = 0, значит поле F является соленоидальным.

В нашем случае, rot(F) = x^2j + zk, что не является нулевым вектором.

Вывод

Итак, мы доказали, что поле F=yzi+xz^2j+x^2k не является соленоидальным, так как его ротор не равен нулю.

Результат: поле F не является соленоидальным.