магазин Лувр

Исследование на совместимость системы линейных уравнений и её решение тремя способами

Система линейных уравнений - это набор уравнений, в которых неизвестные переменные имеют степень 1 и не умножаются друг на друга. Исследование на совместимость системы позволяет определить, имеется ли у неё решение, и если да, то какого типа: единственное, множество, или нет решений вовсе.

В данной статье мы рассмотрим три основных метода для исследования на совместимость и решения системы линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения и вычитания, и метод определителей.

Метод подстановки

Метод подстановки предполагает последовательное решение уравнений, выражая одну переменную через другую и последовательное подстановка этих значений в остальные уравнения. Для примера рассмотрим систему из двух уравнений:

2x + 3y = 8
5x - 2y = 1

Для начала решим первое уравнение относительно x:

x = (8 - 3y) / 2

Теперь подставим это значение x во второе уравнение:

5((8 - 3y) / 2) - 2y = 1

Упростив это уравнение, получаем:

20 - 7y = 2

Решив его, находим y = 2. Подставив это значение y в первое уравнение, находим x = 1.

Таким образом, система имеет единственное решение: x = 1, y = 2.

Метод сложения и вычитания

Метод сложения и вычитания основан на суммировании или вычитании уравнений таким образом, чтобы сократить или устранить одну из неизвестных переменных. Рассмотрим систему:

2x + 3y = 8
5x - 2y = 1

Умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3, чтобы сократить y:

4x + 6y = 16
15x - 6y = 3

Сложим эти два уравнения:

19x = 19

Решив это уравнение, находим x = 1. Подставим это значение x в первое уравнение:

2 + 3y = 8

Решив это уравнение, находим y = 2.

Таким образом, система также имеет единственное решение: x = 1, y = 2.

Метод определителей

Метод определителей основан на вычислении определителей матрицы коэффициентов системы уравнений. Для системы:

2x + 3y = 8
5x - 2y = 1

Вычислим определитель главной матрицы:

D = |2 3|
    |5 -2|

Определитель равен (2 * -2) - (3 * 5) = -4 - 15 = -19. Если определитель не равен нулю, тогда система имеет единственное решение.

Теперь вычислим определители матрицы Dx и Dy, где Dx получается путем замены столбца коэффициентов x на столбец свободных членов, а Dy - заменой столбца коэффициентов y:

Dx = |-19 3|
      |1 -2|

Dy = |2 -19|
      |5 1|

Определитель Dx равен (-19 * -2) - (3 * 1) = 38 - 3 = 35. Определитель Dy равен (2 * 1) - (-19 * 5) = 2 + 95 = 97.

Теперь найдем решение системы уравнений, разделив Dx и Dy на определитель главной матрицы:

x = Dx / D = 35 / -19 ≈ -1.842
y = Dy / D = 97 / -19 ≈ -5.105

Таким образом, система имеет решение: x ≈ -1.842, y ≈ -5.105.

Выводы

Мы рассмотрели три метода исследования на совместимость системы линейных уравнений и решения: метод подстановки, метод сложения и вычитания, и метод определителей. Каждый из этих методов позволяет найти решение системы, если оно существует, либо определить, что система несовместима или имеет бесконечное множество решений. Знание этих методов поможет вам эффективно решать линейные уравнения и применять их в различных областях, таких как физика, экономика и инженерия.