ГЕОМЕТРИЯ!!! ПОМОГИТЕ!!! ТЕМА: ПОВОРОТ
Если вы занимаетесь геометрией, то точно столкнулись с таким понятием, как поворот. Поворот – это преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются на одинаковый угол вокруг заданной точки. В этой статье мы рассмотрим, как делается поворот, какие свойства у этого преобразования и как его можно использовать.
Как делать поворот?
Для того чтобы сделать поворот, нужно знать точку, относительно которой будет делаться поворот, и угол, на который нужно повернуть фигуру.
Пусть дана точка $O$ и фигура, которую нужно повернуть на угол $\alpha$ (в градусах) относительно точки $O$.
Для выполнения поворота нужно:
- Найти координаты точек фигуры относительно точки $O$: $x'=x-x_0$, $y'=y-y_0$.
- Применить формулы поворота для каждой точки:
$$\begin{aligned} x'' &= x' \cos \alpha - y' \sin \alpha \ y'' &= x' \sin \alpha + y' \cos \alpha \end{aligned}$$
- Найти координаты повернутых точек относительно начала координат: $x=x'' + x_0$, $y=y'' + y_0$.
Свойства поворота
- При повороте фигуры сохраняется её форма и размер.
- При повороте фигуры сохраняется расстояние между точками фигуры.
- При повороте фигуры её площадь не изменяется.
- При повороте фигуры всегда остаётся одна точка, которая не перемещается. Эта точка называется центром поворота.
Пример
Рассмотрим пример поворота фигуры относительно центра.
Дан квадрат со стороной $AB = 2$ см и координатами вершин $A(1, 1)$ и $B(3, 1)$. Нужно повернуть квадрат на угол $60^{\circ}$ относительно центра.
Найдём координаты центра квадрата: $x_0 = \dfrac{1+3}{2}=2$, $y_0=\dfrac{1+1}{2}=1$.
Найдём координаты точек фигуры относительно центра:
Точка | $x$ | $y$ | $x'$ | $y'$ |
---|---|---|---|---|
A | 1 | 1 | -1 | 0 |
B | 3 | 1 | 1 | 0 |
C | 3 | 3 | 1 | 2 |
D | 1 | 3 | -1 | 2 |
Применим формулы поворота для каждой точки:
$$\begin{aligned} x''_A &= -1 \cos 60^{\circ} - 0 \sin 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2} \ y''_A &= -1 \sin 60^{\circ} + 0 \cos 60^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ x''_B &= 1 \cos 60^{\circ} - 0 \sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} \ y''_B &= 1 \sin 60^{\circ} + 0 \cos 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ x''_C &= 1 \cos 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} - \sqrt{3} \ y''_C &= 1 \sin 60^{\circ} + 2 \cos 60^{\circ} = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ x''_D &= -1 \cos 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2} - \sqrt{3} \ y''_D &= -1 \sin 60^{\circ} + 2 \cos 60^{\circ} = 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$
Найдём координаты повернутых точек относительно начала координат:
Точка | $x''$ | $y''$ | $x$ | $y$ |
---|---|---|---|---|
A | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
B | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{5}{2}$ | $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
C | $\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}$ | $1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}$ | $2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
D | $-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}$ | $1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}$ | $2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
Выводы
Поворот – это преобразование, которое может пригодиться в решении геометрических задач. Для выполнения поворота нужно знать точку, относительно которой будет делаться поворот, и угол, на который нужно повернуть фигуру. При повороте фигуры сохраняется её форма и размер, расстояние между точками фигуры и её площадь.
- MSF Olga Psh10968: качественная пряжа для вязания
- Пехорка Мериносовая: качественная натуральная пряжа
- При предварительном прогреве лопнуло внутреннее стекло духовки в газовой плите, Что делать, чем заменить?
- Что в сексе для вас извращенство?
- Как отправить резюме по электронной почте?
- Luvr-Shop.ru: Аляска 5806 от Magic