магазин Лувр

ГЕОМЕТРИЯ!!! ПОМОГИТЕ!!! ТЕМА: ПОВОРОТ

Если вы занимаетесь геометрией, то точно столкнулись с таким понятием, как поворот. Поворот – это преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются на одинаковый угол вокруг заданной точки. В этой статье мы рассмотрим, как делается поворот, какие свойства у этого преобразования и как его можно использовать.

Как делать поворот?

Для того чтобы сделать поворот, нужно знать точку, относительно которой будет делаться поворот, и угол, на который нужно повернуть фигуру.

Пусть дана точка $O$ и фигура, которую нужно повернуть на угол $\alpha$ (в градусах) относительно точки $O$.

Для выполнения поворота нужно:

  1. Найти координаты точек фигуры относительно точки $O$: $x'=x-x_0$, $y'=y-y_0$.
  2. Применить формулы поворота для каждой точки:

$$\begin{aligned} x'' &= x' \cos \alpha - y' \sin \alpha \ y'' &= x' \sin \alpha + y' \cos \alpha \end{aligned}$$

  1. Найти координаты повернутых точек относительно начала координат: $x=x'' + x_0$, $y=y'' + y_0$.

Свойства поворота

  1. При повороте фигуры сохраняется её форма и размер.
  2. При повороте фигуры сохраняется расстояние между точками фигуры.
  3. При повороте фигуры её площадь не изменяется.
  4. При повороте фигуры всегда остаётся одна точка, которая не перемещается. Эта точка называется центром поворота.

Пример

Рассмотрим пример поворота фигуры относительно центра.

Дан квадрат со стороной $AB = 2$ см и координатами вершин $A(1, 1)$ и $B(3, 1)$. Нужно повернуть квадрат на угол $60^{\circ}$ относительно центра.

Найдём координаты центра квадрата: $x_0 = \dfrac{1+3}{2}=2$, $y_0=\dfrac{1+1}{2}=1$.

Найдём координаты точек фигуры относительно центра:

Точка $x$ $y$ $x'$ $y'$
A 1 1 -1 0
B 3 1 1 0
C 3 3 1 2
D 1 3 -1 2

Применим формулы поворота для каждой точки:

$$\begin{aligned} x''_A &= -1 \cos 60^{\circ} - 0 \sin 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2} \ y''_A &= -1 \sin 60^{\circ} + 0 \cos 60^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ x''_B &= 1 \cos 60^{\circ} - 0 \sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} \ y''_B &= 1 \sin 60^{\circ} + 0 \cos 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ x''_C &= 1 \cos 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} - \sqrt{3} \ y''_C &= 1 \sin 60^{\circ} + 2 \cos 60^{\circ} = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ x''_D &= -1 \cos 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2} - \sqrt{3} \ y''_D &= -1 \sin 60^{\circ} + 2 \cos 60^{\circ} = 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

Найдём координаты повернутых точек относительно начала координат:

Точка $x''$ $y''$ $x$ $y$
A $-\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{3}{2}$ $\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{5}{2}$ $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C $\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}$ $1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}$ $2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D $-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}$ $1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $-\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}$ $2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Выводы

Поворот – это преобразование, которое может пригодиться в решении геометрических задач. Для выполнения поворота нужно знать точку, относительно которой будет делаться поворот, и угол, на который нужно повернуть фигуру. При повороте фигуры сохраняется её форма и размер, расстояние между точками фигуры и её площадь.