Геометрия, 8 класс: Пропорциональные отрезки

Пропорциональные отрезки являются важным элементом геометрии, который помогает решать многие задачи на построение геометрических фигур.

Определение

Отрезки AB и CD называются пропорциональными, если отношение длины отрезка AB к длине отрезка CD равно отношению длины отрезка BC к длине отрезка DA:

$$ \frac{AB}{CD} = \frac{BC}{DA} $$

Свойства

Если отрезки AB и CD пропорциональны, то и отрезки BA и DC также пропорциональны.
Пропорциональные отрезки можно умножать или делить на любое число, при этом соответствующие отношения останутся пропорциональными.
Если три отрезка AB, CD и EF пропорциональны, то отношение длины отрезка AB к длине отрезка EF равно произведению отношений длин AB и EF к длинам CD и EF:

$$ \frac{AB}{EF} = \frac{AB}{CD} \cdot \frac{CD}{EF} $$

Примеры задач

Найти длину отрезка x, если отрезки 4, 5 и x пропорциональны.

Решение: Из свойства 3 получаем:

$$ \frac{4}{5} = \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{5} $$

Отсюда:

$$ x = \frac{20}{4} = 5 $$

Найти длину отрезка x, если AB, BC и CD пропорциональны, а длины отрезков AB, BC и CD равны 8, 12 и 18 соответственно.

Решение: Из условия задачи получаем:

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{CD} $$

Отсюда:

$$ \frac{8}{12} = \frac{12}{18} $$

Выражаем x:

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$

$$ \frac{BC}{CD} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$

Отсюда:

$$ \frac{AB}{CD} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{BC}{CD} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} $$

$$ x = CD \cdot \frac{AB}{CD} = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8 $$

Заключение

Пропорциональные отрезки - важный элемент в геометрии. На практике, знание пропорциональности отрезков помогает строить фигуры и решать задачи на построение. Общее правило - умножать или делить отрезки можно любым числом, пропорциональность их сохранится.