Докажите, что если в треугольнике один угол равен 129*, то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоуг.
Предположим, что в треугольнике ABC угол A равен 129 градусам, а биссектрисы угла A пересекают стороны BC и AB в точках D и E соответственно.
Так как AD является биссектрисой угла ABC, то угол ADB равен углу ADC. Также, по свойству биссектрисы, мы знаем, что отрезки BD и CD имеют одинаковое отношение к стороне AC треугольника ABC. То есть:
BD/DC = AB/AC.
Заменим сторону AB на отрезки AE и EB:
BD/DC = AE/EC * EB/AC.
Так как угол A равен 129 градусам, то угол AEC равен 51 градусу. Значит, угол AED равен 78 градусам (так как сумма углов треугольника AED равна 180 градусам). Также, угол DAB равен углу BAC/2 (по свойству биссектрисы).
Теперь посмотрим на треугольник AED. Углы AED и ADE равны 78 градусам. Значит, угол EDA равен 24 градусам. Также, угол ADB равен BAC/2, то есть 25.5 градусам. Так как сумма углов треугольника ABD равна 180 градусам, то угол ABD равен 76.5 градусам.
Таким образом, углы ABD и AED равны 76.5 градусам и 78 градусам соответственно, а угол BAD равен 25.5 градусам. Но это означает, что угол AED + угол ABD + угол BAD равны 180 градусам, то есть треугольник ABD является прямоугольным треугольником.
Следовательно, треугольник, образованный основаниями биссектрис угла A, является прямоугольным треугольником. ЧТД.