AM и CN высоты треугольника ABC

Если AM и CN являются высотами треугольника ABC, то мы можем использовать их, чтобы найти площадь треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна половине произведения его основания и высоты, т.е.

S(ABC) = 1/2 * AB * CN

то же самое можно записать и для высоты AM:

S(ABC) = 1/2 * BC * AM

Если мы сравним эти два выражения, то можно заметить, что AB * CN = BC * AM.

Также мы знаем, что площадь треугольников BMN и ABC равны соответственно 9 и 25. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти отношение сторон треугольников BMN и ABC:

S(BMN) = 1/2 * BN * AM = 9

S(ABC) = 1/2 * AB * CN = 25

AB * CN = 50

AM / CN = S(BMN) / S(ABC) = 9/25

AM / CN = 3/5

Теперь мы можем использовать найденное отношение и уравнение AB * CN = BC * AM, чтобы найти длины сторон треугольника ABC:

AB * CN = 50

AB * 5/3 = 50

AB = 30/5 = 6

BC * 3/5 = 6

BC = 10

AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(36 + 100) = sqrt(136) = 2sqrt(34)

Таким образом, длины сторон треугольника ABC равны 6, 10 и 2sqrt(34).